[양자 컴퓨팅 및 정보의 기초] adjoint, Hermitian, unitary, 고유값 문제, 기저 변환

https://www.youtube.com/watch?v=ma14p0foJgM&list=PLv_H0-ClHq6y57O2K6WerynmOVJTkCSq_&index=3

 

 

Column Vector Representation

Column vector representation of an abstract vector

Abstract vector can be represented by an n-tuple of numbers (called its components) for a given basis.
Ex) input vector $|V\rangle = \sum_i v_i |i\rangle \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$

• 임의의 벡터는 기준이 되는 basis가 주어져야만 column vector representation을 얻을 수 있다.
• Linear operator는 임의의 벡터를 새로운 벡터로 맵핑을 해주는 것
• 추상적인 Hilbert Space내의 벡터 $|V\rangle$ 그 자체는 계산이 불가능하다. 이를 수치적으로 다루기 위해서 Completeness를 가진 Basis set ${|i\rangle}$을 도입해서 좌표화하는 과정이다.

벡터 $|V\rangle$는 기저 벡터 $|i\rangle$들의 Linear Combination으로 유일하게 표현된다.

이때 계수 $v_i$들만 모아서 나열하면 $n$-차원 열벡터 $\begin{bmatrix} v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}$가 된다.

이것이 컴퓨터나 행렬 연산에서 사용하는 구체적인 Representation이다.

 

Column vector representation of the output vector

After the input vector goes through an operation $\Omega$, the (transformed) output vector $|V'\rangle = \Omega|V\rangle$ is
$|V'\rangle = \Omega|V\rangle = \sum_i \Omega v_i |i\rangle = \sum_i v_i \Omega |i\rangle = \sum_i v_i |i'\rangle$

But this output vector $|V'\rangle$ can also be expanded in terms of the given basis:
$|V'\rangle = \sum_j v'_j |j\rangle \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v'_1 \\ v'_2 \\ \vdots \\ v'_n \end{bmatrix}$

• Linear Operator $\Omega$가 입력 벡터 $|V\rangle$에 작용하여 출력 벡터 $|V'\rangle$를 만드는 과정이다.
• $\Omega$는 선형 연산자이므로, 합 기호($\sum$)와 스칼라($v_i$)를 통과하여 basis 벡터 $|i\rangle$에만 직접 작용한다.
• 즉, 입력 벡터의 변환은 "각 기저 벡터가 어떻게 변환되는가($\Omega|i\rangle$)"를 아는 것으로 귀결된다.
• 마지막 항의 $\sum v_i |i'\rangle$에서 $|i'\rangle$는 변환된 기저 벡터($\Omega|i\rangle$)를 의미한다.
• 연산 결과로 얻은 새로운 추상 벡터 $|V'\rangle$를 다시  given basis로 표현하여, 최종적인 출력 열벡터(성분)를 찾을 수 있다.
• 변환된 벡터 $|V'\rangle$ 또한 같은 벡터 공간에 존재하므로, 원래의 basis $\{|j\rangle\}$ (인덱스만 $i$에서 $j$로 바뀜)의 선형 결합으로 표현 가능하다.
• 이때의 새로운 계수 $v'_j$들이 바로 연산 후의 Output components가 된다.

 

Matrix Representation of Linear Operators

Column vector representation in a given basis

The input vector: $|V\rangle = \sum_i v_i |i\rangle \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$

The output vector: $|V'\rangle = \Omega|V\rangle = \sum_j v'_j |j\rangle \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v'_1 \\ v'_2 \\ \vdots \\ v'_n \end{bmatrix}$

• 입력 벡터 ($|V\rangle$): basis ${|i\rangle}$를 사용하여 $v_i$라는 성분들의 열벡터(Column Vector)로 표현
• 출력 벡터 ($|V'\rangle$): 연산자 $\Omega$가 작용하여 만들어진 새로운 벡터($|V'\rangle = \Omega|V\rangle$). 이 역시 같은 basis ${|j\rangle}$를 사용해 성분 $v'_j$로 표현할 수 있다.

 

Relation between two column vectors

$v'_j = \langle j | V' \rangle = \langle j | \Omega | V \rangle = \langle j | (\sum_i v_i \Omega | i \rangle) = \sum_i v_i \langle j | \Omega | i \rangle = \sum_i \Omega_{ji} v_i$

$v'_j = \sum_i \Omega_{ji} v_i \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v'_1 \\ v'_2 \\ \vdots \\ v'_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle 1|\Omega|1\rangle & \langle 1|\Omega|2\rangle & \cdots & \langle 1|\Omega|n\rangle \\ \langle 2|\Omega|1\rangle & & & \\ \vdots & & & \vdots \\ \langle n|\Omega|1\rangle & \cdots & & \langle n|\Omega|n\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$

 

• $v'_j = \langle j | V' \rangle$
  • 벡터 $V'$의 $j$번째 성분을 구하려면, basis 벡터 $\langle j |$와 내적을 하면 된다.
• $= \langle j | \Omega | V \rangle$
  • $|V'\rangle$은 $\Omega|V\rangle$와 같으므로 그대로 대입
• $= \langle j | (\sum_i v_i \Omega | i \rangle)$
  • 입력 벡터 $|V\rangle$를 basis들의 합($\sum v_i |i\rangle$)으로 풀어서 쓴다. 연산자 $\Omega$는 선형성이 있으므로 합 기호 안으로 들어가 기저 $|i\rangle$에 걸립니다.
• $= \sum_i v_i \langle j | \Omega | i \rangle$ 
  • $v_i$는 단순한 숫자(스칼라)이므로 내적 기호 밖으로 나온다.
  • 남은 부분 $\langle j | \Omega | i \rangle$는 행렬 component가 된다. 이를 $\Omega_{ji}$라고 부른다.
• $= \sum_i \Omega_{ji} v_i$
  • 결국 출력 성분 $v'_j$는 [행렬 성분 $\Omega_{ji}$]와 [입력 성분 $v_i$]의 곱의 합으로 표현된다. 

 

This matrix is called as the matrix representation of the linear operator $\Omega$ in the given basis.
If the basis is changed, the matrix representation also changes, but the action of the operator is the same.

• Operator는 그 자체로는 추상적인 함수(Map)이다. 이를 컴퓨터나 종이 위에서 계산 가능한 숫자(행렬 형태)로 구현하려면 반드시 Basis가 필요하다.
• 우리가 구한 행렬 $M$의 성분 $M_{ji} = \langle j | \Omega | i \rangle$는 "기저가 $|1\rangle, |2\rangle, ...$로 고정되었을 때만 유효한 값"이다.
• 즉, 이 행렬은 Operator 그 자체가 아니라 특정 basis에서 바라본 Operator의 Representation일 뿐이다.
• 또한 basis를 바꾸면 행렬의 성분 값들 자체도 바뀌게 된다. 하지만 Operator가 벡터 $|V\rangle$를 $|V'\rangle$로 보내는 행위(회전, 확대 등) 그 자체는 좌표계(기저)를 어떻게 잡느냐와 상관없는 물리적/기하학적 실체이다.

 

Identity operator $I$

$I_{ij} = \langle i|I|j\rangle = \langle i|j\rangle = \delta_{ij}$

• 아무것도 바꾸지 않는 Operator
• 어떤 basis ${|i\rangle}$에서 $I$를 행렬로 표현하면, 그 성분 $I_{ij}$는 basis 벡터끼리의 내적 $\langle i|j\rangle$가 된다.
• 보통 양자역학의 기저는 정규직교하므로, $i=j$일 때 1, 다를 때 0인 $\delta_{ij}$가 된다.

 

Projection operator $\mathcal{P}_i$

Consider the shape of expansion of vector
$$|V\rangle = \sum_{i=1}^n v_i|i\rangle = \sum_{i=1}^n \langle i|V\rangle|i\rangle = \sum_{i=1}^n |i\rangle\langle i|V\rangle = \left(\sum_{i=1}^n |i\rangle\langle i|\right)|V\rangle$$

$\displaystyle\sum_{i=1}^n |i\rangle\langle i|$ is an identity operator and also can be written as $ 
\displaystyle\sum_{i=1}^n \mathcal{P}_i$.
$\mathcal{P}_i = |i\rangle\langle i|$ is called the projection operator for the ket $|i\rangle$

• $\mathcal{P}_i = |i\rangle\langle i|$를 Projection operator라고 정의한다.
• 이 연산자는 임의의 벡터 $|V\rangle$에 작용하면, 그 벡터를 $|i\rangle$ 방향 성분만 남기고 다 날려버린다.

 

Completeness Relation

$I = \sum_{i=1}^n |i\rangle\langle i| = \sum_{i=1}^n \mathcal{P}_i$

• 양자역학에서 중요한 식들 중에 하나이다.
• 모든 basis 방향($|1\rangle, |2\rangle, ..., |n\rangle$)에 대한 Projection들을 다 합치면, 원래 벡터 자신이 된다는 뜻이다.
• 즉, 정보의 손실이 없는 완전한(Complete) 상태이다.

 

$\langle V|\mathcal{P}_i = \langle V|i\rangle\langle i| = v_i^* \langle i|$

• Projection operator는 Hermitian Operator이기 때문에 Bra vector의 오른쪽에서도 작용할 수 있다.
• 이 경우 $|V\rangle$의 $i$번째 성분의 켤레복소수($v_i^*$)가 튀어나오며 $\langle i|$ 방향만 남게 된다.

 

Outer product

• Inner product ($\langle V|V'\rangle$):
  • 브라($\langle$)와 켓($|$)이 등을 맞대고 만나는 형태
  • 결과는 스칼라(숫자)이다. 
• Outer Product $|V\rangle\langle V'|$
  • 켓($|$)과 브라($\langle$)가 등을 돌리고 만나는 형태
  • 결과는 연산자(Operator), 행렬 표현으로는 행렬(Matrix)이 된다.

왜 연산자인가?
Outer Product를 임의의 벡터 $|U\rangle$에 작용시켜 보자.
$$(|V\rangle\langle V'|) |U\rangle = |V\rangle (\langle V'|U\rangle) = c |V\rangle$$
스칼라값 $c = \langle V'|U\rangle$가 튀어나오면서, 결과적으로 벡터 $|U\rangle$를 벡터 $|V\rangle$ 방향으로 변환시켰다. 벡터를 벡터로 보내므로 이는 연산자(행렬)이다.

 

 

Matrices corresponding to products of operators

$(\Omega\Lambda)_{ij} = \langle i|\Omega\Lambda|j\rangle = \langle i|\Omega(\sum_{k=1}^n |k\rangle\langle k|)\Lambda|j\rangle = \sum_{k=1}^n \langle i|\Omega|k\rangle\langle k|\Lambda|j\rangle = \sum_{k=1}^n \Omega_{ik}\Lambda_{kj}$

• $\sum_k \Omega_{ik} \Lambda_{kj}$는 우리가 선형대수학에서 배우는 행렬 곱셈 공식(행 $\times$ 열)과 정확히 일치한다.
• 즉, 연산자들의 곱셈은, 선형대수학의 행렬 곱셈으로 그대로 계산하면 된다.

 

Linear Algebra vs. Quantum Mechanics

	Classical Linear Algebra	Quantum Mechanics
Field	실수 ($\mathbb{R}$, Real Number)	복소수 ($\mathbb{C}$, Complex Number)
Inner Product	Symmetric $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$	Skew-symmetric (Conjugate symmetric) $\langle u
Transpose	전치 행렬 $A^T$ 행과 열만 바꿈	Adjoint $A^\dagger$ 전치($T$) + 켤레복소수($*$)
	Symmetric Matrix $A^T = A$	Hermitian Matrix $A^\dagger = A$
	Orthogonal Matrix $A^T = A^{-1}$	Unitary Matrix $A^\dagger = A^{-1}$

 

 

Dual Space

• Ket Space : 우리가 흔히 말하는 상태 벡터 $|v\rangle$가 존재하는 공간, 열 벡터의 성질을 가짐.
• Bra Space : Ket 공간의 Dual Space. 이 공간의 원소인 $\langle v|$는 Ket 벡터를 입력받아 복소수를 출력하는 선형 함수(Linear Functional)들의 집합이다. 행 벡터의 성질을 가짐.

벡터 공간의 원소(Ket)이 있으면, 그 벡터를 복소수(스칼라)로 매핑해주는 선형 함수들의 공간(Bra)이 반드시 존재한다.

$|v\rangle$를 구성할 때 사용한 계수($2, 3$)가 Bra 공간으로 넘어갔을 때도 똑같이 유지된다. 만약 계수가 복소수 $c$였다면 Bra 공간에서는 $c^*$가 되었겠지만, 슬라이드처럼 실수라면 형태가 동일하게 유지된다.

 

 

Linear Operators

Adjoint of an operator

Given a ket $\alpha|V\rangle$, the corresponding bra is $\langle V|\alpha^*$.
Similarly, given $\Omega|V\rangle = |\Omega V\rangle$, there exists a corresponding bra $\langle \Omega V|$, and define the adjoint of $\Omega$ to be the operator $\Omega^\dagger$ that, when applied from the right to $\langle V|$, results in $\langle \Omega V|$:$$\langle V|\Omega^\dagger = \langle \Omega V|$$

 

Ket 공간에서 벡터 $|V\rangle$에 연산자 $\Omega$를 적용해 새로운 벡터 $|\Omega V\rangle$를 만들 수 있다. 이에 대응하는 Bra 공간의 벡터 $\langle \Omega V|$를 만들기 위해, 원래의 Bra $\langle V|$에 오른쪽에서 작용하는 연산자를 $\Omega^\dagger$(Adjoint)라고 정의한다.

 

 

 

Matrix component of adjoint operator

$(\Omega^\dagger)_{ij} = \langle i|\Omega^\dagger|j\rangle = \langle \Omega i|j\rangle = \langle j|\Omega i\rangle^* = (\langle j|\Omega|i\rangle)^* = \Omega_{ji}^*$

 

연산자 $\Omega$를 행렬로 표현했을 때, 그 Adjoint인 $\Omega^\dagger$의 성분은 원래 행렬을 Transpose하고 Complex Conjugate를 취한 것과 같다.

 

Adjoint of product of operator

$(\Omega\Lambda)^\dagger = \Lambda^\dagger\Omega^\dagger$

 

두 연산자의 곱에 Adjoint를 취하면 순서가 바뀐다.

 

 

Hermitian Operators

Definition 13

An operator $\Omega$ is Hermitian if $\Omega^\dagger = \Omega$

• Real field에서는 Adjoint 연산이 Transpose ( $A^T$)와 같으므로 일반적인 Symmetric matrix와 같은 개념이 된다.
• Complex field에서는 Conjugate Transpose를 의미한다.

Definition 14

An operator $\Omega$ is anti-Hermitian if $\Omega^\dagger = -\Omega$

 

Any arbitrary operator $\Omega$ can be decomposed into its Hermitian part and anti-Hermitian part
$\Omega = \frac{\Omega + \Omega^\dagger}{2} + \frac{\Omega - \Omega^\dagger}{2}$

• 임의의 복소수 $z$를 실수부와 허수부로 나누어 $z = \frac{z+\bar{z}}{2} + \frac{z-\bar{z}}{2}$로 쓸 수 있듯이, 모든 연산자 $\Omega$는 에르미트 부분($A$)과 반-에르미트 부분($B$)의 합으로 고유하게 표현된다.
• Hermitian part ($A$): $\frac{\Omega + \Omega^\dagger}{2}$
• Anti-Hermitian part ($B$): $\frac{\Omega - \Omega^\dagger}{2}$

 

Unitary Operator

Definition 15

 An operator $U$ is unitary if $UU^\dagger = U^\dagger U = I$

• $U^\dagger = U^{-1}$
• Unitary Operator는 복소평면에서의 단위 원(Unit circle) 위에 있는 복소수 $u = e^{i\theta}$에 비유할 수 있다.
• 벡터의 크기를 변화시키지 않는다.

 

Theorem 7

Unitary operators preserve the inner product between the vectors they act on.
That is, if $|V'\rangle = U|V\rangle, \langle V'|V'\rangle = \langle V|V\rangle$

• Unitary Operator의 가장 중요한 특징 중 하나로, 내적을 보존한다.
• 벡터 $|V\rangle$에 $U$를 작용시켜 $|V'\rangle$가 되었을 때, 변환된 벡터의 내적값 $\langle V'|V'\rangle$은 원래의 $\langle V|V\rangle$와 동일하다.
• 이는 기하학적으로 변환 전후의 길이와 각도가 변하지 않음을 의미한다.

 

우리가 흔히 아는 3차원 공간에서의 Rotation은 좌표계의 길이를 변화시키지 않는다. 실수 공간에서의 회전 행렬은 Orthogonal matrix ( $O^T = O^{-1}$) 조건을 만족한다.

Unitary Operator는 이 개념을 힐베르트 공간으로 확장한 복소 회전으로 이해할 수 있다.

 

 

Theorem 8

If one treats the columns of an $n \times n$ unitary matrix as components of $n$ vectors, these vectors are orthonormal. The same for the rows.

• $n \times n$ Unitary martix의 각 열(Column)이나 행(Row)을 개별 벡터로 보았을 때, 이들은 서로 수직이고 크기가 1인Orthonormal 집합을 이룬다.
• 즉, Unitary matrix는 하나의 Orthonormal basis를 다른 Orthonormal basis로 변환하는 basis 변환 행렬로도 볼 수 있다.
• 기존의 좌표축들이 서로 수직이고 길이가 1이었는데, Unitary 변환을 거쳐도 그 축들 사이의 각도(90도)와 길이(1)가 그대로 유지된 채 방향만 바뀐다는 것이다.

 

Trace

Trace of a matrix

$Tr(\Omega) = \sum_{i=1}^{n} \Omega_{ii}$

1. $Tr(\Omega\Lambda) = Tr(\Lambda\Omega)$
2. $Tr(\Omega\Lambda\Theta) = Tr(\Lambda\Theta\Omega) = Tr(\Theta\Omega\Lambda)$ (cyclic permutation)

• 단순히 순환하는 것이 아니라 임의로 순서를 바꾸는 것(예: $ABC \rightarrow ACB$)은 성립하지 않을 수 있다.

Trace의 가장 중요한 성질 중 하나로, Uniary transformation($\Omega' = U\Omega U^\dagger$)을 통해 Basis를 바꾸더라도 Trace 값은 변하지 않고 유지된다. (cyclic permutation 성질로 증명 가능하다)

 

 

Eigenvalue Problem

일반적으로 어떤 연산자 $\Omega$를 임의의 벡터(또는 켓 벡터) $|V\rangle$에 작용시키면, 방향과 크기가 모두 변한 새로운 벡터 $|V'\rangle$가 된다. 즉, 두 벡터는 평행하지 않다.

 

하지만 연산자마다 자신만의 특정한 벡터들을 가지고 있는데, 이 벡터들에 연산자를 작용하면 방향은 그대로 유지된 채 크기만 상수배로 변하게(Rescaling) 된다.

$$\Omega|V\rangle = \omega|V\rangle$$

• $|V\rangle$: Eigenvector / Eigenket
• $\omega$: Eigenvalue

 

위의 식을 만족하는 eigenvalue $\omega$와 eigenvector $|V\rangle$를 찾는 과정이 eigenvalue problem이다.

식을 우변이 $0$이 되도록 이항하여 정리하면 다음과 같다.

 

$(\Omega - \omega I)|V\rangle = |0\rangle$

 

이 식을 행렬 형태로 표현했을 때, 고유벡터 $|V\rangle$가 영벡터가 아닌 Non-trivial solution를 가지려면 반드시 행렬식(Determinant)이 $0$이 되어야한다.

 

$det(\Omega - \omega I) = 0$ 식을 실제로 전개하면, eigenvalue $\omega$에 대한 $n$차 다항식 방정식이 도출됩니다. 이를 Characteristic polynomial이라고 부른다.

$$\sum_{m=0}^{n} c_m \omega^m = 0$$

 

• $n$차 다항식은 (중근과 허근을 포함하여) 항상 $n$개의 근을 가진다.
• 따라서 $n \times n$ 차원의 연산자에는 항상 $n$쌍의 eigenvalue, eigenvector가 존재한다.

Eigenvalue는 Basis의 선택에 독립적이다.

위 방정식들은 특정 Basis를 기준으로 행렬 성분을 표현하여 작성되었지만, 도출된 eigenvalue 자체는 우리가 어떤 basis를 선택하든 변하지 않는다.

즉, eigenvalue는 좌표계에 의존하지 않는 연산자 고유의 불변하는 특성이다.

 

 

Properties of Hermitian Operators

Theorem 9

The eigenvalues of a Hermitian operator are real.

• : $\Omega|v\rangle = \lambda|v\rangle$일 때, 고윳값 $\lambda$는 반드시 실수($\lambda = \lambda^*$이다.

When there is no degeneracy, two eigenvectors of a Hermitian operator with different eigenvalues are orthogonal.

• Degeneracy (중복되는 고유값)가 없다면, $\lambda_1 \neq \lambda_2$일 때 두 eigenvalue의 내적은 0이다.
• 즉, $\langle v_1 | v_2 \rangle = 0$이 성립한다.
• 측정값이 다르면 두 상태는 완전히 독립적임을 의미한다.

 

Theorem 10

To every Hermitian operator $Ω$, there exists (at least) a basis consisting of its orthonormal eigenvectors. It is diagonal in this eigenbasis and has its eigenvalues as its diagonal entries.

• Hermitian operator $Ω$의 eigenvalue를 모아서 전체 벡터 공간의 Orthonormal basis를 구성할 수 있다.
• 이 eigenvalue들을 basis로 삼아서 행렬을 표현하면, $Ω$는 대각 성분만 존재하고 그 값들이 eigenvalue로 채워진 Diagonal matrix가 된다.
• $ \begin{bmatrix} \omega_1 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_2 & \vdots \\ 0 & \dots & \ddots \end{bmatrix} $

 

Properties of Unitary Operators

Theorem 11

The eigenvalues of a unitary operator are complex numbers of unit modulus.

• $U|v\rangle = \lambda|v\rangle$일 때, eigenvalue $\lambda$는 절댓값이 1인 복소수 형태($\lambda = e^{i\theta}$)를 가진다.
• unitary 변환이 벡터의 길이는 바꾸지 않고 Phase만 회전시키기 때문이다.

Theorem 12

The eigenvectors of a unitary operator are mutually orthogonal (assuming there is no degeneracy).

• degeneracy가 없다면 서로 다른 eigenvalue($e^{i\theta_1} \neq e^{i\theta_2}$)에 대응하는 eigenvector들은 서로 직교한다.

 

Normal Operator

$A A^\dagger = A^\dagger A$를 만족시킬 때 이를 Normal Operator라고 한다.

• Hermitian Operator는 $A = A^\dagger$이므로 당연히 $AA = AA$가 되어서 Normal Operator이다.
• Unitary Operator 또한 $A^\dagger A = I = AA^\dagger$이므로 역시 Normal Operator이다.

Spectral Theorem에 따르면, 어떤 연산자가 Unitary matrix를 통해 대각화가 가능하고 Orthonormal eigenvector basis를 가질 수 있는 필요충분조건은 바로 그 연산자가 Normal Operator라는 것이다.

 

 

Basis Transformation

물리적 상태나 연산자는 basis(좌표계)의 선택과 무관하게 고유한 의미를 가진다. 하지만 이를 계산하기 위해 Component나 Matrix로 표현할 때는 basis에 따라서 그 형태가 달라지게 된다. 기존 basis에서 새로운 basis로 넘어갈 때, 표현이 어떻게 변환되는지 알아보자.

 

[ 2차원 공간에서의 Basis Transformation ]

 

가장 단순한 2차원 공간을 가정해보자. 동일한 상태 벡터 $|v\rangle$를 서로 다른 두 Orthonormal basis로 표현할 수 있다.

• 기존 Basis: $|1\rangle, |2\rangle$
• 새로운 Basis: $|I\rangle, |II\rangle$

벡터 $|v\rangle$를 각각의 basis로 전개하면 다음과 같다.

• 기존 basis 표현: $|v\rangle = v_1|1\rangle + v_2|2\rangle$ $\rightarrow$ 행렬 표현 $\mathbb{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$
• 새로운 basis 표현: $|v\rangle = v_I|I\rangle + v_{II}|II\rangle$ $\rightarrow$ 행렬 표현 $\mathbb{v}' = \begin{bmatrix} v_I \\ v_{II} \end{bmatrix}$

우리의 목표는 기존 성분($v_1, v_2$)을 새로운 성분($v_I, v_{II}$)으로 나타내는 것

기존 성분 $v_1, v_2$를 구하기 위해, 상태 벡터 $|v\rangle$에 각각 브라 $\langle 1|$과 $\langle 2|$를 내적한다.

$$v_1 = \langle 1|v\rangle = \langle 1|(v_I|I\rangle + v_{II}|II\rangle) = \langle 1|I\rangle v_I + \langle 1|II\rangle v_{II}$$

$$v_2 = \langle 2|v\rangle = \langle 2|(v_I|I\rangle + v_{II}|II\rangle) = \langle 2|I\rangle v_I + \langle 2|II\rangle v_{II}$$

 

 

이 연립방정식을 행렬 곱셈 형태로 묶어주면 다음과 같이 아주 깔끔하게 정리된다.

 

$$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle 1|I\rangle & \langle 1|II\rangle \\ \langle 2|I\rangle & \langle 2|II\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_I \\ v_{II} \end{bmatrix}$$

 

가운데 있는 $2 \times 2$ 행렬을 Transformation Matrix $\mathbb{U}$라고 정의하면, 최종적으로 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

$$\mathbb{v} = \mathbb{U}\mathbb{v}'$$

 

 

[ n차원으로의 일반화 ]

 

위의 $2 \times 2$ 논리를 그대로 $n$차원 공간으로 확장할 수 있다.

• 기존 basis : $|1\rangle, |2\rangle, \dots, |n\rangle$
• 새로운 basis : $|I\rangle, |II\rangle, \dots, |N\rangle$

Transformation matrix $\mathbb{U}$의 각 component는 기존 basis 벡터 $\langle i|$와 새로운 basis 벡터 $|J\rangle$의 내적으로 일반화된다.

$$\mathbb{U}_{ij} = \langle i|J\rangle$$

따라서 임의의 성분 $v_i$는 다음과 같이 시그마($\sum$)를 이용해 표현된다.

$$v_i = \sum_{j=1}^{n} \langle i|J\rangle v_J = \sum_{j=1}^{n} \mathbb{U}_{ij} v_J$$

 

행렬 $\mathbb{U}$의 각 Column을 자세히 살펴보면, $\begin{bmatrix} \langle 1|M\rangle \\ \vdots \\ \langle n|M\rangle \end{bmatrix}$ 형태를 띤다. 즉, $\mathbb{U}$ 행렬의 각 열은 '새로운 basis 벡터'를 '기존 basis'를 사용해 표현한 열벡터 그 자체이다. 또한, 새로운 basis들도 orthonormal하므로 이 연산자는 Unitary 성질을 만족한다 ($UU^\dagger = I$).

 

 

[ Matrix Representation Transformation ]

 

벡터뿐만 아니라 연산자 $\Omega$ 행렬도 basis에 따라 변환되어야 한다.

• 기존 basis에서의 행렬 $\mathbb{O}$: $\mathbb{O}_{ij} = \langle i|\Omega|j\rangle$
• 새로운 basis에서의 행렬 $\mathbb{O}'$: $\mathbb{O}'_{IJ} = \langle I|\Omega|J\rangle$

새로운 basis의 성분 $\langle I|\Omega|J\rangle$를 기존 basis의 성분으로 표현하기 위해,  Completeness relation ($\sum |k\rangle\langle k| = I$)을 두 번 삽입한다.

$$\mathbb{O}'_{IJ} = \langle I| \left( \sum_{k=1}^{n} |k\rangle\langle k| \right) \Omega \left( \sum_{l=1}^{n} |l\rangle\langle l| \right) |J\rangle$$

$$= \sum_{k,l} \langle I|k\rangle\langle k|\Omega|l\rangle\langle l|J\rangle$$

 

이제 각 항을 앞서 정의한 변환 행렬 $\mathbb{U}$의 성분으로 바꾼다.

• $\langle k|\Omega|l\rangle = \mathbb{O}_{kl}$
• $\langle l|J\rangle = \mathbb{U}_{lJ}$
• $\langle I|k\rangle = \langle k|I\rangle^* = \mathbb{U}_{kI}^* = (\mathbb{U}^\dagger)_{Ik}$ 

이들을 대입하여 식을 정리하면 전형적인 행렬의 곱셈 형태가 된다.

$$\mathbb{O}'_{IJ} = \sum_{k,l} (\mathbb{U}^\dagger)_{Ik} \mathbb{O}_{kl} \mathbb{U}_{lJ}$$

 

이를 전체 행렬식으로 요약하면 아래의 최종 결론을 얻을 수 있다.

$$\mathbb{O}' = \mathbb{U}^\dagger \mathbb{O} \mathbb{U}$$

또는

$$\mathbb{O} = \mathbb{U} \mathbb{O}' \mathbb{U}^\dagger$$